قاعـــدة بســكال و قاعدة أرشميدس

قاعـــدة بســكال
قبل أن نتعرض إلى قاعدة بسكال نتذكر ما سبق دراسته عن خصائص الضغط فى السوائل حيث سبق أن عرفنا أن ضغط السائل يؤثر فى جميع الاتجاهات تأثيرا متساويا و أنه عندما يتأثر سائل محبوس فى إناء بضغط فإن الضغط ينتقل بالتساوى إلى كل أجزاء الإناء الذى يحتوى السائل. و تنص قاعدة بسكال على أنه عندما يؤثر ضغط على سائل محبوس فى اناء مغلق فإن هذا الضغط ينتقل به إلى جميع أجزاء السائل كما ينتقل إلى جدران الإناء المحتوى على السائل . فإذا أخذنا إناء اسطوانى مزود بمكبس و ملأنا الإناء بسائل ما و ضغطنا على المكبس و ليكن مثلا بوضع أثقال عليه حتى يصبح الضغط عند السطح السفلى للمكبس هو P₁ فإن الضغط عند نقطة مثل A على عمق h من سطح السائل يساوى P حيث : P = P₁ + rgh فإذا زاد الضغط على المكبس بمقدار DP بزيادة الأثقال مثلا فإننا نلاحظ عدم تحرك المكبس إلى الداخل لعدم قابليـة السائل للإنضغاط. و يزداد الضغط على سطح السائل تحت المكبس بمقدار DP و كذلك عند نقطة A يزداد الضغط بمقدار DP و يصبح : P = P₁ + rgh + DP تطبيقات على قاعدة بسكال – المكبس الهيدروليكى
يعتبر المكبس الهيدروليكى من الأمثلة الممتازة على قاعدة بسكال حيث يوضح كيفية الحصول على قوة كبيرة من قوة صغيرة و الحصول على شغل بمجهود صغير. و الشكل (1-8) يوضح رسما توضيحيا للمكبس الهيدروليكى حيث يتكون من اسطوانتين متصلتين من أسفل و مملوئتين بسائل ما كالزيت مثلا.
كل من الاسطوانتين مزود بمكبس متحرك. أحدهما صغير مساحة مقطعه a و الآخر كبير و مساحة مقطعه A . و الآن إذا أثرنا على المكبس الصغير بقوة f بحيث كان الضغط على المكبس مساويا P فإنه حسب قاعدة بسكال فإن الضغط ينتقل به إلى جميع أجزاء السائل و ينتقل بذلك إلى السطح السفلى للمكبس الكبير و يؤثر عليه بقوة مقدارها F =PA
ولكى يتزن هذا المكبس و يصبح فى نفس مستوى المكبس الأول لابد من التأثير على المكبس الكبير بقوة مقدارها F حتى يتساوى الضغط المؤثر على المكبسين و يصبح مساويا P

و يتضح من هذه العلاقة أنه إذا أثرنا على المكبس الصغير بقوة f تتولد على المكبس الكبير قوة أكبر
F و تسمى النسبة		بالفائدة الآلية أو الفائدة الميكانيكية للمكبس و يرمز لها
بالرمز e أى أن : e
أى أن الفائدة الآلية للمكبس هى النسبة بين القوة التى حصلنا عليها إلى القوة التى أثرنا بها وفى حاله المكبس المثالى ( الذى يعمل بكفاءة 100% ) تعطى بالنسبة بين مساحة المكبس الكبير إلى مساحة المكبس الصغير. قاعدة أرشميدس و قواعـد الطفو لاشك أن كل من حاول أن يغمر كرة فى الماء قد شعر بقوة كبيرة يدفع بها الماء الكرة إلى أعلى. كذلك نشاهد أن بعض المواد مثل الفلين تطفو فوق الماء. و من المشاهدات أيضا أن الجسم المغمور فى الماء أو فى السائل بصفة عامة يمكن رفعه بسهولة طالما كان مغمورا فى السائل بينما يكون من الصعب رفعه فى الهواء. كل هذه الملاحظات تؤكد أن هناك قوة يؤثر بها السائل على الجسم المغمور فيه و تعمل هذه القوة إلى أعلى. و تسمى هذه القوة قوة الدفع buoyant force و تنشأ هذه القوة نتيجة لزيادة الضغط فى باطن السائل بزيادة العمق تحت سطح السائل، فينشأ بذلك فرق فى الضغط بين أسفل الجسم و قمته و بالتالى قوة تعمل إلى أعلى. إثبات أن قوة دفع الســائل للجسم تساوى وزن السائل المزاح نتصور سائلا فى إناء و نتصور حجما من هذا السائل قدره V على شكل اسطوانة مساحة مقطعها A و ارتفاعها h أى أن V = Ahو الآن ندرس القوى التى تؤثر على هذه الاسطوانة من السائل. القوى التى تؤثر على الاسطوانة تنشأ عن الضغط. و لما كان ضغط
السائل يؤثر فى جميع الاتجاهات فإن الاسطوانة تؤثر عليها قوى من جميع الجهات و يمكن تقسيمها إلى قوى أفقية و قوى رأسية . القوى الأفقية: تلاشى بعضها البعض. وذلك لأن الضغط عند جميع النقاط التى تكون فى مستوى واحد فى باطن السائل يكون واحدا.
القوى الرأسية: يؤثر على هذه الاسطوانة قوة إلى أسفل هى ثقلها أو وزنها w حيث : w = Ahrg حيث r هى كثافة السائل. وحيث أن السائل ساكن فإن القوة إلى أسفل تتعادل مع القوة F_b التى تنشأ عن فرق الضغط بين السطحين السفلى و العلوى للاسطوانة و إذا رمزنا لفرق الضغط بالرمز P فإن : F_b = PA = (P₂ - P₁) A حيث p₂ ضغط السائل على السطح السفلى للاسطوانة و p₁ االضغط على السطح العلوى . أى أن فرق الضغط يساوى : P = h₂rg - h₁ rg = hrg F_b = Ahrg = Vrg و تتساوى هذه القوة التى تؤثر إلى أعلى مع ثقل السـائل فى الحجم V إلى أسفل : F_b = w = Vrg من العلاقة الأخيرة نجد أن قوة الدفع تساوى وزن اسطوانة السائل و تعمل إلى أعلى.

العلاقة بين وزن الجسم فى الهواء و وزنه و هو مغمــور فى السائل : نفرض أننا غمرنا جسما على شكل اسطوانة مثلا فى سائل فإن الضغط المؤثر على السطح السفلى للاسطوانة إلى أعلى يكون أكبر من الضغط المؤثر على السطح العلوى للاسطوانة إلى أسفل و تكون محصلة القوتين الناشئتين عن الضغط إلى أعلى و تسمى قوة الدفع F_b و هى تساوى وزن السائل الذى يزيحه الجسم و تضاد ثقل الجسم W_s و تكون القوة المحصلة التى تؤثر على الجسم مساوية F حيث : F = F_b - W_s = Vrg - Vr_sg = (r - r_s) Vg حيث r_s هى كثافة مادة الجسـم
و حسب قيمة المحصلة F واتجاهها فإن الجسم المغمور فى سائل يكون فى احدى ثلاث حالات : الحالة الأولى : عندما تكون F = 0 أى أن F_b= W_s تتعادل قوة الدفع إلى أعلى مع وزن الجسم و يظهر الجسم معلقا فى السائل . الحالة الثانية: إذا كانت المحصلة F إلى أسفل أى أن W_s > F_b أى أن وزن الجسم إلى أسقل أكبر من قوة الدفع إلى أعلى و يغوص الجسم إلى القاع و الجسم الذى يغوص فى السائل تؤثر عليه قوة دفع و لكنها لا تكفى لتعادل وزنه. وإذا علق الجسم و هو مغمور بأكمله فى السائل فى ميزان فإن وزنه و هو مغمور فى السائل W’_s يساوى الفرق بين وزنه فى الهواء و قوة الدفع أى أن W’_s = W_s – F_b الحالة الثالثة : إذا كانت المحصلة F إلى أعلى أى أن قوة الدفع إلى أعلى أكبر من وزن الجسم F_b > W_s فى هذه الحالة يطفو الجسم و يستقر فوق سطح السائل بحيث يطفو جزء منه و ينغمر جزء منه فى السائل بحيث يكون وزن الجسم مساويا وزن السائل الذى يزيحه الجزء المغمور من الجسم و يسمى هذا بقانون الطفو أو قاعدة الطفو . قاعدة ارشميدس : من التجارب التى أجراها أرشميدس توصل إلى القاعدة التالية : إذا غمر جسم جزئيا أو كليا فى سائل فإنه يكون مدفوعا من أسفل إلى أعلى بقوة دفع تساوى وزن السائل الذى يزيحه الجسم و حجم هذا السائل يساوى جحم الجسم أو الجزء المغمور منه فى السائل . تطبيقات على قانون الطفو * طفو السفينة فوق الماء: توضح قاعدة الطفو كيف تطفو السفينة المصنوعة من الصلب فوق الماء. السبب فى ذلك هو أن جسم السفينة الأجوف ينغمر فى الماء و يزيح كمية كبيرة من الماء إلى أن يتساوى وزن الماء المزاح أى قوة الدفع مع وزن السفينة و تطفو السفينة . أما الحجر المصمت الذى يلقى فى الماء فهو يلقى أيضا دفعا إلى أعلى و لكن قوة الدفع تكون أقل من وزن الحجر فيغوص الحجر إلى القاع. * ارتفاع البالون فى الجو: يملأ البالون بالهواء الساخن أو بغاز أقل كثافة من الهواء مثل الهيدروجين أو الهليوم و يكون وزن البالون فى هذه الحالة أقل من وزن الهواء الذى يزيحه أى أقل من قوة الدفع فيرتفع البالون إلى أعلى و حيث أن كثافة الهواء الجوى تقل مع الارتفاع فإن البالون يستمر فى الارتفاع إلى أن تقل قوة الدفع إلى القيمة التى تتساوى فيها مع وزن البالون. * اسقرار الاجسام الطافية : سبق ان ذكرناأنه عندما يطفو جسم فوق سطح سائل فإنه طبقا لقاعدة أرشميدس فأن الجسم سوف تؤثر عليه قوة دفع إلى أعلى تساوى وزن السائل المزاح الذى يساوى حجمه حجم الجزء المغمور من الجسم . وحيث أن الجسم فى حالة اتزان فإن قوة الدفع المؤثر ة عليه إلى أعلى تساوى وزنه إلى أسفل. ويؤثر وزن الجسم w إلى اسفل خلال مركز ثقله G بينما تؤثر قوة الدفع F_b إلى أعلى خلال مركز ثقل السائل المزاح B كما فى شكل (1).والآن نفرض ان الجسم الطافى عبارة عن سفينة تطفو فوق الماء . إذا مالت هذة السفينة يلزم لإعادة استقرارها أن تعمل القوتان المؤثرتان عليها لإعادتها إلى وضعها الأصلى . و الشكل (ب)يوضح سفينه مالت فى اتجاه عقارب الساعة . نلاحظ فى هذه الحالة أن مركز ثقل الماء المزاح قد تحرك واصبح عند النقطة 'B وتؤثر قوة الدفع F_b هذه الحالة إلى اعلى على الخط المار بنقطة 'B من الشكل نجد ان القوتين F_b_وw متضادتان ومتوازيتان وخط عملهما ليس واحدا أى أنهما تعملان ازدواجا يعمل فى عكس عقارب الساعة ويعمل على اعادة السفينة إلى وضع الأستقرار ويقال أن طفو السفينة فى هذه الحالة من النوع المستقر. ويتعين استقرار السفينة بوضع النقطة M والتى تسمى المركز الظاهرى و هى نقطة تقاطع خطين أحدهما يمر رأسيا خلال مركز ثقل الماء المزاح 'B اماالخط الثانى فهو الخط الرأسى الذى يمر بمركز ثقل السفينة عندما تكون فى وضعها الأصلى قبل ان تميل أى الخط MG . ولكى نصل إلى حالة الأستقرار لابد أن يكون المركز الظاهرى M دائما فوق مركز ثقل السفينة G , وفى هذة الحالة فأن الازدواج الناشىء يعمل فى عكس اتجاه ميل السفينة فيعيدها إلى وضعها الأصلى . اما إذا كان المركز الظاهرى M أدنى من مركز الثقل G فإن الازدواج الناشىء يعمل فى نفس اتجاه ميل السفينة ويؤدى إلى زيادة ميلها .